A. Si deux ensembles bien ordonnes semblables F et G, sont appliqués l’un sur l’autre, à chaque segment A de F correspond un segment semblable B de G, et à chaque segment B de G un segment semblable A de F, et les éléments f et g, qui déterminent les segments A et B ainsi appliqués, se correspondent toujours l’un à l’autre dans l’application.
Démonstration. — Supposons que l’on ait appliqué l’un sur l’autre deux ensembles simplement ordonnés semblables M et N ; soient m et n deux éléments correspondants, M′ l’ensemble de tous les éléments de M qui sont ≺ m, N′ l’ensemble de tous les éléments de N qui sont ≺ n ; dans ces conditions, l’application fait correspondre M′ et N′. Car, à chaque élément m′ de M, qui est ≺ m, doit correspondre (§ 7) un élément n′ de N qui est ≺ n, et réciproquement.
Si l’on applique ce théorème général aux ensembles bien ordonnés F et G, on obtient la proposition à démontrer.
B. Un ensemble bien ordonné F n’est semblable à aucun de ses segments A.
Supposons que F ≃ A, et considérons une application de F sur A. D’après le théorème A, le segment A de F aura pour image un segment A′ de A, tel que A′ ≃ A. On aurait donc ainsi A′ ≃ F et A′ < A. Par le même procédé on déduirait de A′ un segment plus petit A″ ≃ F et A″ < A′ et ainsi de suite.
Nous obtiendrions ainsi une série nécessairement infinie
de segments de F devenant de plus en plus petits, mais toujours semblables à l’ensemble F.
En désignant par f, f′, f″, …, f(ν)…, les éléments qui déterminent ces segments, nous aurions
et par suite la série infinie
