Démonstration. — Si l’élément initial f1 de F appartient à F1, il en est en même temps l’élément initial. S’il n’en est pas ainsi, soit F′ l’ensemble de tous les éléments de F qui ont un rang inférieur à celui de tous les éléments de F1 ; il n’y a aucun élément de F entre F′ et F1.
L’élément f′ qui, d’après II, suit immédiatement F′, appartient donc nécessairement à F1 et en est l’élément initial.
B. Si un ensemble simplement ordonné F est tel que F et toutes ses parties ont un élément initial, F est un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — La condition I est remplie puisque F a un élément initial.
Soit F′ une partie de F telle qu’il y ait dans F un ou plusieurs éléments ≻ F′ ; l’ensemble F1 de tous ces éléments a un élément initial f′ qui suit immédiatement l’ensemble F′. La condition II est donc remplie et par suite F est un ensemble bien ordonné.
C. Toute partie F′ d’un ensemble bien ordonné est aussi un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — D’après le théorème A, F′ et toute partie F″ de F′ (qui est également partie de F) a un élément initial ; F′ est donc, d’après le théorème B, un ensemble bien ordonné.
D. Tout ensemble G semblable à un ensemble bien ordonné F est aussi un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — Il résulte immédiatement de la définition de la similitude (§ 7) que tout ensemble N, semblable à un ensemble M ayant un élément initial, possède aussi un élément initial.
Puisque G est semblable à F et que F, comme ensemble bien ordonné, a un élément initial, il en est de même de G.
De même, chaque partie G′ de G a un élément initial ; car une application de G sur F fait correspondre à l’ensemble G′ une partie F′ de F.
