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tion II lorsqu’on choisit pour F′ l’élément unique f. De plus, s’il existe dans F une suite infinie d’éléments échelonnés

e′ ≺ e″ ≺ e‴ … e^(ν) ≺ e^{(ν + 1)}…

telle qu’il y ait dans F des éléments de rang supérieur à celui de tous les e^(ν) et si l’on prend pour F′ l’ensemble {e^(ν)}, la condition II affirme l’existence d’un élément f′ possédant les deux propriétés suivantes : 1^o  f′ ≻ e^(ν) pour toutes les valeurs de ν ; 2^o  il n’y a dans F aucun élément g tel que l’on ait à la fois

g ≺ f′  g ≻ e^(ν)

pour toutes les valeurs de ν.

Par exemple, les trois ensembles

(a₁, a₂, …, a_ν, …)

(a₁, a₂, …, a_ν, …, b₁, b₂, …, b_μ, …)

(a₁, a₂, …, a_ν, …, b₁, b₂, …, b_μ, …, c₁, c₂, c₃),

où

a_ν ≺ a_{ν + 1} ≺ b_μ ≺ b_{μ + 1} ≺ c₁ ≺ c₂ ≺ c₃

sont bien ordonnés. Les deux premiers n’ont pas d’élément supérieur, le troisième a l’élément supérieur c₃ ; dans le deuxième et le troisième, l’élément b₁ vient immédiatement après tous les a_ν ; dans le troisième, l’élément c₁ vient immédiatement après tous les a_ν et b_μ.

Dans la suite, nous étendrons à des groupes d’éléments la signification des signes ≺ et ≻, introduits au § 7 pour marquer la position relative de deux éléments ; ainsi les formules

M ≺ N

M ≻ N

exprimeront respectivement que, dans un ordre de succession donné, tous les éléments de l’ensemble M ont des rangs inférieurs ou supérieurs à ceux des éléments de l’ensemble N.

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A. Toute partie F₁ d’un ensemble bien ordonné F a un élément initial.