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une série fondamentale {r_{κ_ν}} qui lui est liée et qui est contenue dans R. À cette dernière série correspond une série fondamentale {s_{λ_ν}} de S et de M qui, en vertu de 1^o, est limitée par un élément m₀ de M qui n’appartient pas à S (F, § 10). Cet élément m₀ de M (qui reste le même lorsqu’on remplace les séries fondamentales {x_ν} et {r_{κ_ν}} par une autre quelconque de limite x₀ [E, C, D, § 10]) sera l’image de x₀. Inversement, on fait correspondre à tout élément m₀ de M qui n’appartient pas à S, un élément bien déterminé x₀ de X qui n’appartient pas à R et dont m₀ est l’image.

De cette manière, on établit entre X et M une correspondance biuniforme dont il faut montrer qu’elle est une application des deux ensembles.

Cela est immédiat pour les éléments de X et de M qui appartiennent respectivement aux ensembles R et S.

Comparons maintenant un élément r de R à un élément x₀ de X qui n’appartient pas à R ; soient s et m₀ les éléments correspondants de M.

Si r < x₀ il y a une série fondamentale ascendante {r_{κ_ν}} qui est limitée par x₀ et il existe un certain nombre ν₀ tel que

r < r_{κ_ν}, pour ν ≥ ν₀.

L’image de {r_{κ_ν}} dans M est une série fondamentale ascendante {s_{λ_ν}} qui est limitée dans M par m₀ et l’on a (§ 10) : 1^o s_{λ_ν} ≺ m₀, pour toute valeur de ν ; 2^o s ≺ s_{λ_ν} pour ν ≥ ν₀ ; donc (§ 7) s ≺ m₀.

Si r > x₀, on trouve de même s ≻ m₀.

Si nous considérons enfin deux éléments x₀ et x′₀ de X qui n’appartiennent pas à R, et les deux éléments correspondants de M, m₀ et m′₀, on montre par des considérations analogues que lorsque x₀ < x′₀, on a aussi m₀ ≺ m′₀.

La démonstration de la similitude de X et de M est donc faite et l’on a :

M = θ.

Halle, mars 1895.