De cette manière, on établit entre X et M une correspondance biuniforme dont il faut montrer qu’elle est une application des deux ensembles.
Cela est immédiat pour les éléments de X et de M qui appartiennent respectivement aux ensembles R et S.
Comparons maintenant un élément r de R à un élément x0 de X qui n’appartient pas à R ; soient s et m0 les éléments correspondants de M.
Si r < x0 il y a une série fondamentale ascendante {rκν} qui est limitée par x0 et il existe un certain nombre ν0 tel que
L’image de {rκν} dans M est une série fondamentale ascendante {sλν} qui est limitée dans M par m0 et l’on a (§ 10) : 1o sλν ≺ m0, pour toute valeur de ν ; 2o s ≺ sλν pour ν ≥ ν0 ; donc (§ 7) s ≺ m0.
Si r > x0, on trouve de même s ≻ m0.
Si nous considérons enfin deux éléments x0 et x′0 de X qui n’appartiennent pas à R, et les deux éléments correspondants de M, m0 et m′0, on montre par des considérations analogues que lorsque x0 < x′0, on a aussi m0 ≺ m′0.
La démonstration de la similitude de X et de M est donc faite et l’on a :