façon que, entre deux éléments arbitraires x0 et x1 de X, il y ait toujours des éléments de R.
Nous voulons montrer maintenant que l’ensemble de ces propriétés caractérise complètement le type θ du contenu linéaire, de sorte que l’on a le théorème :
« Si un ensemble ordonné M présente les caractères suivants : 1o il est parfait, 2o il contient un ensemble S de nombre cardinal S = ℵ0 tel qu’entre deux éléments arbitraires m0 et m1 de M, il existe toujours des éléments de S, on a M = θ. »
Démonstration. — Si S a un élément de rang inférieur à tous les autres ou un élément de rang supérieur à tous les autres, ceux-ci, considérés comme éléments de M, conservent en vertu de 2o le même caractère ; nous pouvons donc les séparer de S sans que cet ensemble perde, relativement à M, la propriété exprimée en 2o.
Nous supposons donc dorénavant que S n’ait pas d’élément de rang inférieur ou supérieur à tous les autres ; d’après le § 9, S a alors le type η.
Car, comme S est une partie de M, la 2e condition exprime qu’entre deux éléments s0 et s1 de S, il existe d’autres éléments de S. D’ailleurs nous avons S = ℵ0.
Les deux ensembles S et R sont par suite semblables.
| (3) | S ≃ R. |
Prenons pour base une représentation quelconque de R sur S. Nous allons montrer qu’il en résulte une représentation déterminée de X sur M, et cela de la manière suivante :
À tous les éléments de X qui appartiennent à l’ensemble R, nous ferons correspondre les éléments de M qui appartiennent aussi à S et précisément ceux qui leur correspondaient dans la représentation de R sur S.
Mais si x0 est un élément de X n’appartenant pas à R, on peut le considérer comme l’élément limite d’une série fondamentale {xν} contenue dans X et qui peut être remplacée par
