et plus petits que b, où a et b sont deux nombres réels quelconques, a < b.
Car tous ces ensembles ordonnés vérifient les trois conditions exigées de M dans notre théorème. (Journal de Crelle, t. LXXVII, p. 258.)
Si nous considérons de plus les ensembles de types η + η, ηη, (1 + η)η, (η + 1)η, (1 + η + 1)η, on voit, d’après les définitions données au § 8, que ces trois conditions sont remplies pour chacun d’eux. Donc
| (7) | η + η = η |
| (8) | ηη = η |
| (9) | (1 + η)η = η |
| (10) | (η + 1)η = η |
| (11) | (1 + η + 1)η = η. |
L’emploi répété des formules (7) et (8) nous conduit, pour un nombre fini ν, aux formules
| (12) | η.ν = η |
| (13) | ην = η. |
Au contraire, on voit facilement que pour ν > 1, les types 1 + η, η + 1, ν.η, 1 + η + 1, sont différents entre eux et différents de η.
D’ailleurs on a :
| (14) | η + 1 + η = η. |
Au contraire η + ν + η est différent de η pour ν > 1.
Enfin il est bon d’observer que
| (15) | *η = η. |
§ 10. — Les séries fondamentales contenues dans les ensembles ordonnés transfinis.
Considérons un ensemble transfini simplement ordonné quelconque M. Chaque partie de M est un ensemble ordonné. Il y
