Dans la somme α + β, α s’appelle l’augendus, β l’addendus.
Pour trois types quelconques, on démontre facilement que la loi associative est vraie :
(2) | α + (β + γ) = (α + β) + γ. |
Au contraire, la loi commutative n’est pas exacte en général pour l’addition des types. Nous le verrons déjà par l’exemple suivant :
Soit ω le type, déjà mentionné au § 7, de l’ensemble bien ordonné :
1 + ω n’est pas égal à ω + 1.
Car si f est un nouvel élément, on a d’après (1)
Mais l’ensemble
est semblable à l’ensemble E, par suite :
Au contraire, les ensembles E et (E, f) ne sont pas semblables, car le premier n’a aucun terme de rang supérieur à tous les autres, tandis que le dernier en a un f. ω + 1 est donc différent de ω = 1 + ω.
De deux ensembles ordonnés M et N de types α et β on peut déduire un ensemble ordonné S en remplaçant dans N chaque élément n par un ensemble ordonné Mn qui ait le même type que M.
(3) | Mn = α. |