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Dans la somme α + β, α s’appelle l’augendus, β l’addendus.

Pour trois types quelconques, on démontre facilement que la loi associative est vraie :

(2)

α + (β + γ) = (α + β) + γ.

Au contraire, la loi commutative n’est pas exacte en général pour l’addition des types. Nous le verrons déjà par l’exemple suivant :

Soit ω le type, déjà mentionné au § 7, de l’ensemble bien ordonné :

E = (e₁, e₂,…, e_ν, …),  e_ν ≺ e_{ν + 1}

1 + ω n’est pas égal à ω + 1.

Car si f est un nouvel élément, on a d’après (1)

1 + ω = (f, E)

ω + 1 = (E, f)

Mais l’ensemble

(f, E) = (f, e₁, e₂,…, e_ν, …)

est semblable à l’ensemble E, par suite :

1 + ω = ω.

Au contraire, les ensembles E et (E, f) ne sont pas semblables, car le premier n’a aucun terme de rang supérieur à tous les autres, tandis que le dernier en a un f. ω + 1 est donc différent de ω = 1 + ω.

De deux ensembles ordonnés M et N de types α et β on peut déduire un ensemble ordonné S en remplaçant dans N chaque élément n par un ensemble ordonné M_n qui ait le même type que M.

(3)

Mn = α.