Car si nous considérons un ensemble du même type
avec
et si ν0′ désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif, les deux ensembles sont appliqués l’un sur l’autre lorsque à l’élément eν′ du premier on fait correspondre l’élément fν0′ + ν′, du second ; ν0′ étant arbitraire, on a ainsi une infinité d’applications.
Lorsque la notion de « type » que nous venons de développer est étendue à des « ensembles ordonnés d’ordre multiple », elle comprend, outre la notion introduite au § 1 de « nombre cardinal » ou de « puissance », « tout ce qu’on peut imaginer susceptible de mesure numérique » et elle n’admet dans ce sens aucune généralisation ultérieure. Elle ne contient rien d’arbitraire et n’est que l’extension naturelle de la notion de nombre. Il faut particulièrement insister sur ce fait que la condition d’égalité (4) résulte avec une nécessité absolue de la notion de type et n’admet aucune modification. C’est dans la méconnaissance de ce principe qu’il faut rechercher la cause principale de la grave erreur qui se trouve dans l’ouvrage de M. G. Véronèse : Grundzüge der Geometrie (traduction allemande de A. Schepp, Leipzig, 1894).
Là, à la page 30, « le nombre d’un groupe ordonné » est défini tout à fait de la même façon que notre « type d’un ensemble simplement ordonné ». (Zur Lehre von Transfiniten, Halle, 1890. Extrait de Zeitschrift für Philos. und philos. Kritik, année 1887.)
Mais M. Véronèse croit devoir compléter la définition de l’égalité. Il dit, page 31 : « Deux nombres dont les unités se correspondent uniformément et dans le même ordre et tels que l’un n’est pas une partie de l’autre et n’est pas égal à une partie de l’autre, sont égaux. »
