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Désignons par ω le type de l’ensemble bien ordonné

(e₁, e₂, e₃, …, e_ν, …)

où

e_ν ≺ e_{ν + 1}

et où ν représente un nombre cardinal fini quelconque.

Un autre ensemble bien ordonné de même type

(f₁, f₂, …, f_ν, …)

avec

f_ν ≺ f_{ν + 1}

ne peut évidemment être représenté sur le premier qu’en faisant correspondre f_ν avec e_ν. Car l’élément e₁ du premier qui a le moindre rang doit correspondre à l’élément qui a le moindre rang dans le second ; l’élément e₂ de rang immédiatement supérieur à celui de e₁ doit correspondre à l’élément f₂ dont le rang est immédiatement supérieur à celui de f₁, et ainsi de suite.

Toute autre correspondance à sens unique des éléments des deux ensembles {e_ν} et {f_ν} n’est pas une « application » au sens que nous avons fixé plus haut dans la théorie des types.

Considérons au contraire un ensemble ordonné de la forme

{e_ν′}

où ν′ prend toutes les valeurs positives et négatives entières y compris la valeur 0 et où

e_ν′ ≺ e_{ν′ + 1}

Cet ensemble n’a aucun élément de rang inférieur à tous les autres et aucun élément de rang supérieur à tous les autres. D’après la définition de la somme qui sera donnée au § 8, le type de cet ensemble est

*ω + ω.

Il est semblable à lui-même d’une infinité de manières.