Désignons par ω le type de l’ensemble bien ordonné
où
et où ν représente un nombre cardinal fini quelconque.
Un autre ensemble bien ordonné de même type
avec
ne peut évidemment être représenté sur le premier qu’en faisant correspondre fν avec eν. Car l’élément e1 du premier qui a le moindre rang doit correspondre à l’élément qui a le moindre rang dans le second ; l’élément e2 de rang immédiatement supérieur à celui de e1 doit correspondre à l’élément f2 dont le rang est immédiatement supérieur à celui de f1, et ainsi de suite.
Toute autre correspondance à sens unique des éléments des deux ensembles {eν} et {fν} n’est pas une « application » au sens que nous avons fixé plus haut dans la théorie des types.
Considérons au contraire un ensemble ordonné de la forme
où ν′ prend toutes les valeurs positives et négatives entières y compris la valeur 0 et où
Cet ensemble n’a aucun élément de rang inférieur à tous les autres et aucun élément de rang supérieur à tous les autres. D’après la définition de la somme qui sera donnée au § 8, le type de cet ensemble est
Il est semblable à lui-même d’une infinité de manières.