le nombre cardinal qui correspond (§ 1) à la classe de types [a] lorsque celle-ci est considérée comme un ensemble bien défini dont les éléments sont les divers types α dont le nombre cardinal est a. Nous verrons que a′ est différent de a et même qu’il est toujours plus grand.
Si l’on inverse l’ordre de succession de tous les éléments d’un ensemble ordonné de sorte que, de deux éléments, celui qui avait le rang le plus bas acquiert le plus élevé et réciproquement, on obtient de nouveau un ensemble ordonné que nous désignons par
| (6) | *M |
et que nous appellerons l’inverse de M.
Si α = M, nous désignerons le type de *M par
| (7) | *α |
Il peut arriver que *α = α ; il en est ainsi, par exemple, pour les types finis et pour le type de l’ensemble R de tous les nombres rationnels qui sont plus grands que 0 et plus petits que 1, lorsqu’on les ordonne par grandeur croissante ; nous appellerons ce type η.
Remarquons encore que deux ensembles ordonnés semblables peuvent être représentés l’un sur l’autre d’une ou de plusieurs manières ; dans le premier cas, le type considéré est semblable à lui-même d’une seule manière, et dans le deuxième, de plusieurs manières.
Nous verrons que non seulement les types finis, mais aussi les types des ensembles transfinis « bien ordonnés », dont nous nous occuperons plus tard et que nous nommerons nombres ordinaux transfinis, n’admettent qu’une seule représentation sur eux-mêmes. Au contraire, le type η est semblable à lui-même d’une infinité de manières.
Deux exemples simples nous permettront d’éclaircir cette différence.
