Nous mettrons en regard le théorème suivant relatif aux ensembles transfinis.
D. Tout ensemble transfini T est tel qu’il a des parties T1 qui lui sont équivalentes.
Démonstration. — D’après le théorème A de ce paragraphe, il y a une partie S = {tν} de T dont le nombre cardinal est ℵ0. Soit T = (S, U), de sorte que U est formé des éléments de T qui sont différents des éléments tν. Si nous posons S1 = {tν + 1} et T1 = (S1, U), T1 est une partie de T que l’on obtient en séparant de T le seul élément t1. Comme S ∼ S1 (théorème B de ce paragraphe) et U ∼ U, on a aussi (§ 1) T ∼ T1.
Les théorèmes C et D mettent en lumière la différence essentielle entre les ensembles finis et transfinis, indiquée déjà dès 1877 dans le Journal de Crelle, tome LXXXIV, page 242.
Maintenant que nous avons défini le plus petit nombre cardinal transfini ℵ0 et obtenu ses propriétés les plus immédiates, la question se pose de rechercher les nombres cardinaux supérieurs et leur génération à partir de ℵ0.
Nous montrerons que les nombres cardinaux transfinis se rangent par ordre de grandeur et forment ainsi rangés, comme les nombres cardinaux finis, quoique dans un sens plus étendu, un ensemble bien ordonné.
De ℵ0 résulte, d’après une loi déterminée, le nombre cardinal immédiatement supérieur ℵ1 ; de celui-ci et d’après la même loi résulte le nombre suivant ℵ2, et ainsi de suite.
Mais la suite illimitée des nombres cardinaux
n’épuise pas la notion de nombre cardinal transfini. Nous démontrerons l’existence d’un nombre cardinal que nous désignerons par ℵω et qui se présente comme le nombre immédiatement supérieur à tous les nombres ℵν ; de ce nombre
