l’autre. Si λ représente aussi un nombre cardinal fini arbitraire (de sorte que {λ}, {μ} et {ν} sont seulement des modes différents de représenter l’ensemble de tous les nombres cardinaux finis), nous avons à montrer que
Posons μ + ν = ρ ; ρ prendra les valeurs 2, 3, 4, … et il y a en tout ρ − 1 éléments {μ, ν} pour lesquels μ + ν = ρ, savoir :
Supposons que l’on écrive dans cet ordre d’abord l’élément (1, 1) pour lequel ρ = 2, puis les deux éléments pour lesquels ρ = 3, puis les trois éléments pour lesquels ρ = 4, et ainsi de suite ; on obtiendra tous les éléments (μ, ν) écrits comme il suit :
et comme on le voit facilement, l’élément (μ, ν) occupe le rang
(9) | λ = μ + (μ + ν − 1)(μ + ν − 2)2. |
λ prend successivement les valeurs 1, 2, 3, … ; il existe ainsi en vertu de (9) une correspondance biuniforme entre les deux ensembles {λ} et {μ, ν}.
Si l’on multiplie par ℵ0 les deux membres de l’équation (8), on obtient ℵ03 = ℵ02 = ℵ0, et en répétant l’opération, on obtient l’équation
(10) | ℵ0ν = ℵ0, |
valable pour un nombre cardinal fini quelconque ν.
Les théorèmes E et A du § 5 nous conduisent à cette proposition sur les ensembles finis.
C. Tout ensemble fini E est tel qu’il n’est équivalent d’aucune de ses parties.