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l’autre. Si λ représente aussi un nombre cardinal fini arbitraire (de sorte que {λ}, {μ} et {ν} sont seulement des modes différents de représenter l’ensemble de tous les nombres cardinaux finis), nous avons à montrer que

{(μ, ν)} ∼ {λ}.

Posons μ + ν = ρ ; ρ prendra les valeurs 2, 3, 4, … et il y a en tout ρ − 1 éléments {μ, ν} pour lesquels μ + ν = ρ, savoir :

(1, ρ − 1), (2, ρ − 2), …, (ρ − 1, 1).

Supposons que l’on écrive dans cet ordre d’abord l’élément (1, 1) pour lequel ρ = 2, puis les deux éléments pour lesquels ρ = 3, puis les trois éléments pour lesquels ρ = 4, et ainsi de suite ; on obtiendra tous les éléments (μ, ν) écrits comme il suit :

(1, 1) ; (1, 2), (2, 1) ; (1, 3), (2, 2), (3, 1) ; (1, 4), (2, 3), … ;

et comme on le voit facilement, l’élément (μ, ν) occupe le rang

(9)

λ = μ + (μ + ν − 1)(μ + ν − 2)/2.

λ prend successivement les valeurs 1, 2, 3, … ; il existe ainsi en vertu de (9) une correspondance biuniforme entre les deux ensembles {λ} et {μ, ν}.

Si l’on multiplie par ℵ₀ les deux membres de l’équation (8), on obtient ℵ₀³ = ℵ₀² = ℵ₀, et en répétant l’opération, on obtient l’équation

(10)

ℵ0ν = ℵ0,

valable pour un nombre cardinal fini quelconque ν.

Les théorèmes E et A du § 5 nous conduisent à cette proposition sur les ensembles finis.

C. Tout ensemble fini E est tel qu’il n’est équivalent d’aucune de ses parties.