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En se reportant au § 1, on voit que les théorèmes A et B démontrent la formule (4).
En ajoutant 1 aux deux membres de l’égalité (2), nous avons :
ℵ0 + 2 = ℵ0 + 1 = ℵ0,
et en répétant cette opération :
| (5) | ℵ0 + ν = ℵ0. |
Mais nous avons aussi :
| (6) | ℵ0 + ℵ0 = ℵ0. |
Car d’après l’égalité (1), § 3, ℵ0 + ℵ0 est le nombre cardinal ({aν}, {bν}) parce que
ℵ0 = {aν} = {bν}.
Mais on a évidemment :
{ν} = ({2ν − 1}, {2ν})
({2ν − 1}, {2ν}) ∼ ({aν}, {bν})
et par suite
({aν}, {bν}) = {ν} = ℵ0.
L’équation (6) peut aussi s’écrire ;
ℵ0.2 = ℵ0,
et en ajoutant un certain nombre de fois ℵ0 aux deux membres de cette équation :
| (7) | ℵ0.ν = ν.ℵ0 = ℵ0. |
Nous avons aussi :
| (8) | ℵ0.ℵ0 = ℵ0. |
Démonstration. — D’après la formule (6) du § 3, ℵ0.ℵ0 est le nombre cardinal de l’ensemble {(μ, ν)}, où μ et ν sont deux nombres cardinaux finis quelconques, indépendants l’un de
