Cela résulte (§ 3) de ce que μ = (1, 2, 3, …, μ) ajouté à ceci qu’aucune partie de l’ensemble (1, 2, 3, …, μ) n’est équivalente à l’ensemble {ν}, tandis que (1, 2, 3, …, μ) est une partie de {ν}.
D’ailleurs ℵ0 est le plus petit nombre cardinal transfini. Si a est un nombre cardinal transfini quelconque différent de ℵ0, on a toujours
| (4) | ℵ0 < a. |
Cela résulte des théorèmes suivants :
A. Tout ensemble transfini T a des parties dont le nombre cardinal est ℵ0.
Démonstration. — Si l’on sépare de l’ensemble T par un procédé quelconque un nombre fini d’éléments t1, t2, … tν − 1, on peut toujours en retirer un de plus tν. L’ensemble {tν} où ν désigne un nombre cardinal fini arbitraire, est une partie de T dont le nombre cardinal est ℵ0, car {tν} ∼ {ν}. (§ 1.)
B. Si S est un ensemble transfini de nombre cardinal ℵ0, S1 une partie infinie de S, on a aussi S1 = ℵ0.
Démonstration. — Nous supposerons que S ∼ {ν} ; si nous désignons par sν l’élément de S qui correspond à l’élément ν de {ν} en vertu d’une loi d’association arbitraire, nous avons
La partie S1 de S se compose de certains éléments sκ de S et la réunion de tous les nombres κ forme une partie infinie K de l’ensemble {ν}. Or, d’après le théorème G, § 5, l’ensemble K peut s’écrire
où
et par suite on a aussi
Il en résulte que S1 ∼ S et que S1 = ℵ0.
