Page:Cantor - Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, trad. Marotte, 1899.djvu/18

De F on déduit :

G. Tout ensemble K = {κ} de nombres cardinaux finis et différents peut s’écrire :

K = (κ₁, κ₂, κ₃, …)

où

κ₁ < κ₂ < κ₃ …

§ 6. — Le plus petit nombre cardinal transfini aleph-zéro.

Les ensembles dont le nombre cardinal est fini s’appellent ensembles finis ; nous appellerons tous les autres des ensembles transfinis et les nombres cardinaux correspondants seront des nombres cardinaux transfinis.

L’ensemble de tous les nombres cardinaux finis ν nous donne un exemple immédiat d’un ensemble transfini : nous nommons le nombre cardinal correspondant (§ 1) le nombre aleph-zéro et nous l’écrivons ℵ₀, de sorte que

(1)

ℵ0 = {ν}.

Ce fait que ℵ₀ est un nombre transfini, c’est-à-dire n’est égal à aucun nombre fini μ, résulte de cette simple remarque que, si l’on ajoute à l’ensemble {ν} un nouvel élément e₀, l’ensemble somme ({ν}, e₀) est équivalent à l’ensemble primitif. Car on établit entre les éléments des deux ensembles une correspondance biuniforme en faisant correspondre à l’élément e₀ du premier l’élément 1 du second et à l’élément ν du premier l’élément ν + 1 du second. D’après le § 3 nous avons donc :

(2)

ℵ0 + 1 = ℵ0.

Mais nous avons montré au § 5 que μ + 1 est toujours différent de μ ; donc ℵ₀ n’est égal à aucun nombre fini.

Le nombre ℵ₀ est plus grand que tout nombre fini μ

(3)

ℵ0 > μ.