De F on déduit :
G. Tout ensemble K = {κ} de nombres cardinaux finis et différents peut s’écrire :
où
§ 6. — Le plus petit nombre cardinal transfini aleph-zéro.
Les ensembles dont le nombre cardinal est fini s’appellent ensembles finis ; nous appellerons tous les autres des ensembles transfinis et les nombres cardinaux correspondants seront des nombres cardinaux transfinis.
L’ensemble de tous les nombres cardinaux finis ν nous donne un exemple immédiat d’un ensemble transfini : nous nommons le nombre cardinal correspondant (§ 1) le nombre aleph-zéro et nous l’écrivons ℵ0, de sorte que
(1) | ℵ0 = {ν}. |
Ce fait que ℵ0 est un nombre transfini, c’est-à-dire n’est égal à aucun nombre fini μ, résulte de cette simple remarque que, si l’on ajoute à l’ensemble {ν} un nouvel élément e0, l’ensemble somme ({ν}, e0) est équivalent à l’ensemble primitif. Car on établit entre les éléments des deux ensembles une correspondance biuniforme en faisant correspondre à l’élément e0 du premier l’élément 1 du second et à l’élément ν du premier l’élément ν + 1 du second. D’après le § 3 nous avons donc :
(2) | ℵ0 + 1 = ℵ0. |
Mais nous avons montré au § 5 que μ + 1 est toujours différent de μ ; donc ℵ0 n’est égal à aucun nombre fini.
Le nombre ℵ0 est plus grand que tout nombre fini μ
(3) | ℵ0 > μ. |