deux ensembles M = Eμ − 1 et N = Eν − 1, ils remplissent les deux conditions données au § 2 pour M < N.
La première condition est remplie, car d’après le théorème E, une partie de M = Eμ − 1 a l’un des nombres cardinaux 1, 2, 3, …, μ − 1 et, par suite, d’après le théorème A, ne peut être équivalent à l’ensemble N = Eν − 1. La deuxième condition est remplie, car M est lui-même une partie de N.
Démonstration de C. — Soit a un nombre cardinal plus petit que ν + 1. D’après la deuxième condition du § 2, il y a une partie de Eν qui a pour nombre cardinal a. D’après le théorème E, toute partie de Eν a pour nombre cardinal 1, 2, 3, …, ν.
Donc a est égal à l’un des membres 1, 2, 3, …, ν.
D’après le théorème B, aucun de ces nombres n’est plus grand que ν.
Par suite, il n’y a aucun nombre cardinal qui soit plus petit que ν + 1 et plus grand que ν.
Le théorème suivant sera très important pour la suite.
F. Soit K un ensemble de nombres cardinaux finis et distincts, il y en a un parmi eux κ1 qui est plus petit que tous les autres et est ainsi le plus petit de tous.
Démonstration. — Ou l’ensemble K contient le nombre 1 qui est alors le plus petit κ1 = 1 ; ou il ne le contient pas. Dans ce cas, soit J l’ensemble de tous les nombres cardinaux de notre série 1, 2, 3, … qui sont plus petits que les nombres de K. Si un nombre ν appartient à J, il en est de même de tous les nombres plus petits que ν. Mais J doit contenir un élément ν1 tel que ν1 + 1 et par suite tous les nombres plus grands n’appartiennent pas à J, car autrement J comprendrait l’ensemble de tous les nombres finis, ce qui est impossible car les nombres appartenant à K ne sont pas contenus dans J. Ainsi J n’est pas autre chose que la suite (1, 2, 3, … ν1). Le nombre κ1 = ν1 + 1 est nécessairement un élément de K et il est plus petit que tous les autres.
