un certain nombre ν et démontrons-le pour le nombre suivant ν + 1.
Comme ensemble définissant le nombre cardinal ν + 1, nous avons pris Eν = (e0, e1, …, eν) ; si le théorème est exact pour celui-ci, il résulte du § 1 qu’il est aussi vrai pour tout autre ensemble de même nombre cardinal. Soit E′ une partie quelconque de Eν ; nous distinguerons les cas suivants :
1o E′ ne contient pas l’élément eν et est alors ou Eν − 1 ou une partie de Eν − 1 ; il a donc pour nombre cardinal ou ν ou un des nombres 1, 2, 3, …, ν − 1, puisque nous supposons notre théorème vrai pour l’ensemble Eν − 1 de nombre cardinal ν.
2o E′ se compose d’un seul élément eν, alors E′ = 1.
3o E′ se compose de eν et d’un ensemble E″, de sorte que E′ = (E″, eν). E″ est une partie de Eν − 1 et a, par suite, pour nombre cardinal un des nombres 1, 2, 3, …, ν − 1.
Mais on a E′ = E″ + 1 et par suite E′ a pour nombre cardinal un des nombres 2, 3, …, ν.
Démonstration de A. — Chacun des ensembles que nous avons désignés par Eν a la propriété de n’être équivalent à aucune de ses parties. Car s’il en est ainsi pour un certain nombre cardinal ν, il résulte du théorème D que c’est aussi vrai pour le suivant ν + 1.
Mais pour ν = 1, on reconnaît immédiatement que l’ensemble E1 = (e0, e1) n’est équivalent à aucune de ses parties, qui sont ici (e0) et (e1).
Considérons maintenant deux nombres quelconques μ et ν de la série 1, 2, 3, …, μ étant placé avant ν dans la série ; Eμ − 1 est une partie de Eν − 1, par suite Eμ − 1 et Eν − 1 ne sont pas équivalents et les nombres cardinaux correspondants ne sont pas égaux.
Démonstration de B. — Considérons encore les nombres μ et ν ; μ venant avant ν dans la série des nombres cardinaux finis, je dis que μ < ν. En effet, si nous considérons les
