qui le précèdent et plus petit que tous ceux qui le suivent (§ 2).
C. Il n’y a aucun nombre cardinal dont la valeur soit comprise entre deux nombres consécutifs ν et ν + 1 (§ 2).
Nous basons la démonstration de ces théorèmes sur les deux suivants D et E que nous établirons d’abord.
D. Si l’ensemble M est tel qu’il n’est équivalent à aucune de ses parties, l’ensemble (M, e) qui résulte de M par l’adjonction d’un nouvel élément e, a aussi la même propriété de n’être équivalent à aucune de ses parties.
E. Si N est un ensemble dont le nombre cardinal ν est fini et N1 une partie de N, le nombre cardinal de N1 est égal à l’un des nombres 1, 2, 3, …, ν − 1.
Démonstration de D. — Supposons donc que l’ensemble (M, e) soit équivalent à une de ses parties que nous appellerons N, nous distinguerons deux cas qui conduisent tous deux à une contradiction.
1o L’ensemble N contient l’élément e ; soit N = (M1, e) ; M1 est alors une partie de M, car N est une partie de (M, e). Comme nous l’avons vu au § 1, on peut modifier la loi d’association des deux ensembles équivalents (M, e) et (M1, e) de façon que l’élément e de l’un corresponde à l’élément e de l’autre, et alors les éléments des ensembles M et M1 se correspondent un à un, ce qui est contraire à l’hypothèse que M n’est équivalent à aucune de ses parties.
2o La partie N de (M, e) ne contient pas l’élément e et, par suite, est ou M ou une partie de M. La loi d’association de (M, e) et de N fait correspondre à l’élément e de (M, e) l’élément f de N. Soit N = (M1, f) ; les éléments des ensembles M et M1 se correspondent d’une manière uniforme ; mais M1 qui est une partie de N est aussi une partie de M. M serait donc aussi équivalent à l’une de ses parties, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Démonstration de E. — Supposons le théorème vrai pour
