Si l’on ajoute maintenant à E0 un autre objet e1, l’ensemble somme s’appelle E1, de sorte que
| (2) | E1 = (E0, e1) = (e0, e1). |
Le nombre cardinal de E1 s’appelle « deux » et s’écrit 2.
| (3) | 2 = E1. |
Par l’adjonction successive de nouveaux éléments, nous obtenons la série des ensembles
qui nous fournissent la suite illimitée des autres nombres cardinaux appelés finis et que nous écrivons 3, 4, 5, … L’emploi que nous faisons des mêmes nombres comme indices se justifie en ce sens qu’un nombre n’est ainsi employé qu’après avoir été défini comme nombre cardinal. Si ν − 1 désigne le nombre précédant immédiatement le nombre ν dans cette série, nous avons
| (4) | ν = Eν − 1. |
| (5) | Eν = (Eν − 1, eν) = (e0, e1, …, eν). |
De la définition de la somme donnée au § 3, il résulte
| (6) | Eν = Eν − 1 + 1 |
c’est-à-dire que tout nombre cardinal fini (sauf 1) est la somme de celui qui le précède immédiatement et de 1.
Dans le développement de nos idées, les trois théorèmes suivants viennent maintenant au premier plan.
A. Les termes de la série illimitée des nombres cardinaux finis 1, 2, 3, …, ν, … sont tous différents entre eux (c’est-à-dire que la condition d’équivalence des ensembles correspondants donnée au § 1 n’est pas remplie).
B. Chacun de ces nombres ν est plus grand que tous ceux
