Page:Cantor - Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, trad. Marotte, 1899.djvu/13

et il en résulte

X ∼ ({s_ν}, X)

et par suite (§ 1)

2^ℵ₀ = X = 𝔬.

En élevant au carré les deux membres de la formule et se reportant au § 6, (6)

𝔬𝔬 = 2^ℵ₀2^ℵ₀ = 2^{ℵ₀ + ℵ₀} = 2^ℵ₀ = 𝔬.

et par des multiplications successives :

(13)

𝔬ν = 𝔬.

ν étant un nombre cardinal fini quelconque.

Élevons les deux membres de (11) à la puissance ℵ₀. On obtient :

𝔬^ℵ₀ = (2^ℵ₀)^ℵ₀ = 2^ℵ₀ℵ₀.

Mais comme d’après § 6,  ℵ₀ℵ₀ = ℵ₀

(14)

𝔬ℵ0 = 𝔬.

La signification des formules (13) et (14) est celle-ci : Les continus à ν dimensions ainsi que les continus à ℵ₀ dimensions ont même puissance que le continu linéaire. Ainsi, tout le contenu du mémoire du Journal de Crelle, tome LXXXIV, page 242, est obtenu, d’une façon purement algébrique à l’aide des formules fondamentales du calcul des puissances.

§ 5. — Les nombres cardinaux finis.

Nous voulons montrer tout d’abord que les principes que nous venons d’exposer, et sur lesquels nous fonderons la théorie des nombres cardinaux actuellement infinis ou transfinis, fournissent aussi l’exposé le plus naturel, le plus court et le plus rigoureux de la théorie des nombres finis.

À un objet isolé e₀, considéré comme élément unique d’un ensemble E₀ = (e₀), correspond comme nombre cardinal celui que nous nommons « un » et que nous écrivons 1 ; nous avons :

(1)

1 = E0.