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Il en résulte, si l’on pose P = c, que, pour trois nombres cardinaux a, b, c quelconques, on a :

(8) ab.ac = ab + c
(9) ac.bc = (ab)c
(10) (ab)c = ab.c

On reconnaîtra par l’exemple suivant combien ces formules simples, étendues aux puissances, sont instructives et d’une grande portée.

Désignons par 𝔬 la puissance du continu linéaire X (c’est-à-dire de l’ensemble X de tous les membres réels x qui sont ≥ 0 et ≤ 1. On s’assure facilement que 𝔬 peut être représenté par la formule

(11) 𝔬 = 20.

0 étant le nombre défini au § 6.

En effet, d’après (4), 20 n’est pas autre chose que la puissance de l’ensemble de toutes les représentations

(12) x = f(1)/2 + f(2)/22 + … + f(ν)/2ν + … (où f(ν) = 0 ou 1).

des nombres x dans le système de numération dont la base est 2. Si nous remarquons, de plus, qu’il n’y a pour chaque nombre x qu’une seule manière de les représenter ainsi, sauf pour les nombres

x = 2ν + 1/2μ < 1,

pour lesquels il y a deux manières, nous voyons qu’en représentant par {sν} l’ensemble « dénombrable » de ces derniers on a :

20 = ({sν}, X).

Supposons que l’on retranche de X un ensemble dénombrable quelconque {tν} et désignons le reste par X1, on a :

X = ({tν}, X1) = ({t2ν − 1}, {t}, X1)
({sν}, X) = ({sν}, {tν}, X1)
{t2ν − 1} ∼ {sν}  {t} ∼ {tν}  X1 ∼ X1