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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.
sente l’aspect de l’Univers pour l’observateur ; celui-ci a l’illusion d’un espace euclidien infini.
Cherchons les équations du mouvement d’un point matériel
dans l’Univers d’Einstein[1] : les équations différentielles d’une
géodésique (no 78) sont les suivantes :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}=-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0f3e0413afc7f212c412352a572d23a88bda45)
ou
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{\sigma }}{c^{2}dt^{2}}}=-\left[{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\4\\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\sigma }}{c\,dt}}\right]{\frac {dx_{\alpha }}{c\,dt}}{\frac {dx_{\beta }}{c\,dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a343ac08d1e853d3cdda9eb207cd0f6c108902d8)
et, en nous restreignant aux systèmes de référence dans lesquels les
ne dépendent pas de
(33-17)
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Avec les coordonnées employées dans les équations (23-17) et
(25-17),
ou
les symboles de Christoffel non
nuls sont les suivants :
![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}33\\2\end{Bmatrix}}=-\sin \theta \cos \theta ,\qquad {\begin{Bmatrix}23\\3\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}32\\3\end{Bmatrix}}=\cot \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d84b07691a67f1be53d965ca78e02c0400eb4e1)
Nous obtenons
(34-17)
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Nous pouvons prendre
et
les intégrales des aires
- ↑ D’après de Sitter, Monthly Notices, novembre 1917.