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deuxième partie. — la relativité généralisée.
sion de
pour l’hyperespace quadridimensionnel
(3-17)
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Dans le cas de l’Espace-Temps,
est un intervalle d’Univers si nous regardons les
comme des variables d’espace ; il y a alors une coordonnée temps imaginaire (le temps peut être considéré comme une longueur imaginaire).
À l’origine, on a
![{\displaystyle g_{\mu \mu }=-1\,;\qquad g_{\mu \nu }=0\;(\mu \neq \nu )\,;\qquad {\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778c14ec2efa439037348a3995bf7175442a7a98)
les seuls termes qui subsistent à l’origine dans l’expression de l’invariant contracté
sont
![{\displaystyle -g^{\mu \mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}{\begin{Bmatrix}\mu \mu \\\rho \\\end{Bmatrix}}+g^{\mu \mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \\\end{Bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8861ae97b963436c247ff8f3fd0c2ced08d0afe)
Calculant les symboles de Christoffel, on trouve
(4-17)
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est donc une généralisation de la courbure de Gauss
considérée dans la théorie des surfaces, comme nous l’avions annoncé (no 75) ; c’est la courbure totale.
Voici deux cas particuliers qui se présenteront dans la suite :
1o Si nous avons un espace sphérique de rayon
et un temps rectiligne (à courbure nulle),
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {R} _{1}=\mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} _{3},\qquad \mathrm {R} _{4}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9aae080b5fc7291f6e1a1c4336201020f099db)
(5-17)
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2o Si nous avons un Univers sphérique de rayon
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {R} _{1}=\mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} _{3}=\mathrm {R} _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff5f8507f94f84a9005d97aaec89c8fe07e3540)
(6-17)
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