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deuxième partie. — la relativité généralisée.

tour qui la limite. L’équation (3-14) s’écrit

$\delta \mathrm {A} ^{\mu }$	$=-{\frac {1}{2}}\iint \left[{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!\left({\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left({\begin{Bmatrix}\sigma \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }\right)\right]d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }$
	$=-{\frac {1}{2}}\iint \left[\mathrm {A} ^{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}-{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\sigma \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\right)\right.$
	$\qquad \qquad \quad \left.-{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\sigma \rho \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\rho }+{\begin{Bmatrix}\sigma \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\nu \rho \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\rho }\right]d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }\,;$

(5-14)

$\delta \mathrm {A} ^{\mu }={\frac {1}{2}}\iint \mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }$

et pour un contour infiniment petit

(6-14)

$d\mathrm {A} ^{\mu }={\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.$

Pour un quadrivecteur covariant $\mathrm {A} _{\mu },$ on trouverait de même

(7-14)

$d\mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }\mathrm {A} _{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.$

La condition nécessaire et suffisante pour que la variation soit nulle est $\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }=0$ (ou $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0$).

Ainsi, pour que la direction soit intégrable, nous trouvons la même condition (nécessaire et suffisante) que pour que l’Espace-Temps soit euclidien. Par conséquent, l’intégrabilité de la direction est une propriété qui n’appartient qu’à l’Espace-Temps euclidien ; la non-intégrabilité de la direction caractérise un Univers non euclidien, c’est-à-dire un champ de gravitation permanent^[1].

75. Loi générale de la gravitation dans une région vide de matière et d’énergie électromagnétique (Loi d’Einstein).

L’équation $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0$ n’exprime évidemment pas la loi générale que nous cherchons, car elle est beaucoup trop restreinte. Si c’était une loi naturelle, il ne pourrait y avoir qu’un Espace--

1. Nous verrons plus tard que, de même que la non-intégrabilité de la direction caractérise le champ de gravitation, la non-intégrabilité de la longueur (généralisée) doit caractériser un champ d’une autre nature qui jouit précisément des propriétés du champ électromagnétique.