266
deuxième partie. — la relativité généralisée.
tion
(23-16)
|
|
|
Par double intégration partielle, on obtient, les
étant arbitraires,
(24-16)
|
|
|
Les identités (22) et (24) qui résultent de l’invariance de
et par conséquent du principe de relativité, nous donnent les conséquences suivantes :
Transformons les équations (14) du champ de gravitațion en les multipliant par
nous obtenons (après permutation des indices
et
) les équations équivalentes
(25-16)
|
|
|
en posant
(26-16)
|
|
|
équation qui définit le tenseur d’énergie, et
(27-16)
|
|
![{\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6a1d70849e63d5005492662cc450cd046a110a) |
![{\displaystyle =-\left({\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g_{\alpha }^{\mu \nu }+{\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ae816ab3ce439799ae96cf077a83a1aae6f104) |
|
|
|
|
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left({\mathfrak {R}}_{0}g_{\sigma }^{\nu }-{\frac {\partial {\mathfrak {R}}_{0}}{\partial g_{\nu }^{\mu \alpha }}}g_{\sigma }^{\mu \alpha }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3adfbe4f4db247ce582dff8a39e3c2259e537c5) |
[d’après (21) et (22)]
|
Par dérivation de (25) par rapport à
on obtient, d’après (24).
(28-16)
|
|
|
formule qui exprime la conservation de ![{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+{\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d121ebd8af237d9197ca6ef3991e423b49b8e8e)
Des équations (14), il résulte, après multiplication par
et en tenant compte de (27),
![{\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a4daaa68e1ab96b879a548f63be3376b59a16e)
ou, d’après (26) et (27),
(29-16)
|
|
|