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chapitre XVI. — le principe d’action stationnaire.
ne dépend plus des
et
est nul. Le principe de variation devient
(10-16)
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et peut se mettre sous la forme des équations de Lagrange[1] (généralisées)
(11-16)
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![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{0}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{0}}{\partial g^{\mu \nu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6747034a3e0a56deb931e61f33a7ba8963bf3498) |
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(12-16)
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![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{0}}{\partial q_{(\rho )\alpha }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {H_{0}}}}{\partial q_{(\rho )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e8ae9a3918bd2a3cecac249c560341ff9e85f0) |
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Ce sont les équations du champ de gravitation et de la substance.
Existence propre du champ de gravitation. Si l’on ne fait aucune restriction sur la manière dont
dépend des
il est impossible de séparer les composantes d’énergie en deux parties dont l’une se rapporte au champ de gravitation et l’autre à la substance (matière et champ électromagnétique). Pour faire cette séparation, Einstein suppose que
(13-16)
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où
dépend seulement des
seulement des
Les équations (11) et (12) s’écrivent alors
(14-16)
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(15-16)
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étant déduit de
comme
est déduit de
par intégration partielle.
Sans doute, les équations (12) et (15) seraient à remplacer par d’autres, si nous admettions que
et
dépendissent des dérivées d’ordre supérieur des
On peut penser aussi que les
ne sont pas absolument indépendants. Peu importe pour la suite, car nous ne ferons usage que de l’équation (14-16).
- ↑ Comparer avec le no 79.