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chapitre XVI. — le principe d’action stationnaire.
des
et
suivantes :
(18-16)
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(19-16)
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Comme
ne dépend que des
et
on peut calculer
on obtient
(20-16)
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en posant
(21-16)
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Ces deux équations nous conduisent à des conséquences importantes.
Nous savons que
est un invariant ; il n’en est pas de
même de
mais on peut démontrer que cette dernière grandeur
est un invariant pour les transformations linéaires des coordonnées.
Il résulte de là que le second membre de l’équation (20)
doit disparaître lorsque tous les
s’annulent ; par suite,
doit satisfaire l’identité
(22-16)
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Choisissons les
de manière que ces fonctions ne soient
différentes de zéro qu’à l’intérieur d’un certain domaine, et s’annulent
infiniment près de la limite de ce domaine ; la valeur de
l’intégrale (9) étendue en dehors de cette limite ne change pas
pour la transformation considérée, et l’on a
![{\displaystyle \Delta \mathrm {F} =0,\qquad \Delta \!\iiiint _{\chi }{\mathfrak {R}}\,d\omega =\Delta \!\iiiint _{\chi }{\mathfrak {R}}_{0}\,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51dbfbea242110cac51e3b23285aa78e18b9101)
(en considérant
et
au lieu de
et
).
Mais le premier membre de cette équation est nul, puisque
et
sont des invariants ; par conséquent, le second
membre est nul ; d’après (20), (21), (22), nous obtenons l’équa-