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deuxième partie. — la relativité généralisée.

partie de l’action électromagnétique dépendant des forces maxwelliennes resterait la même que dans la théorie de Lorentz-Hilbert ; enfin une autre partie de l’action électromagnétique, liée à des forces non maxwelliennes qui s’introduisent dans la théorie de Weyl-Eddington (et qui sont d’ailleurs nécessaires pour que la charge de l’électron puisse subsister), serait l’action qui se présente à nos yeux sous l’aspect de l’action matérielle.

L’idée d’Eddington, que la loi de gravitation serait une identification entre grandeurs géométriques et grandeurs physiques resterait peut-être acceptable, sans entrer en conflit avec le principe d’action stationnaire.

104. Principe d’Hamilton et relativité généralisée
(d’après Einstein).

Einstein s’est placé à un point de vue très général, faisant le moins possible d’hypothèses.

Le champ de gravitation est représenté par le tenseur des $g_{\mu \nu }$ (ou $g^{\mu \nu }$), la substance (matière et champ électromagnétique) par un certain nombre de fonctions de point $q_{(\rho )}.$ Soit ${\mathfrak {H}}$ une fonction des

$g^{\mu \nu },\;g_{\sigma }^{\mu \nu }\!\left(\!={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}\!\right),\;g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }\!\left(\!={\frac {\partial ^{2}g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }\,\partial x_{\tau }}}\!\right),\;$ des $q_{(\rho )}\;$ et $q_{(\rho )\alpha }\!\left(\!={\frac {\partial q_{(\rho )}}{\partial x_{\alpha }}}\!\right)\cdot$

Cette fonction est supposée obéir au principe de variation

(8-16)

$\delta \!\iiiint _{\chi }{\mathfrak {H}}\,d\omega =0.$

Ce principe de variation nous donne autant d’équations différentielles qu’il y a de fonctions $g^{\mu \nu }$ et $q_{(\rho )}$ à déterminer, si nous admettons que les $g^{\mu \nu }$ et $q_{(\rho )}$ doivent varier indépendamment les uns des autres, et de manière que les $\delta q_{(\rho )},$ $\delta g^{\mu \nu }$ et $\delta {\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$ s’annulent tous aux limites du domaine d’intégration.

Comme nous l’avons vu au numéro précédent, si nous supposons que ${\mathfrak {H}}$ est linéaire en $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu },$ et que les coefficients des $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$ ne dépendent que des $g^{\mu \nu },$ on peut écrire

(9-16)

$\iiiint _{\chi }{\mathfrak {H}}\,d\omega =\iiiint _{\chi }{\mathfrak {H}}_{0}\,d\omega +\mathrm {F} ,$