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chapitre XVI. — le principe d’action stationnaire.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

103. Méthode de Lorentz et d’Hilbert.

L’action considérée par Lorentz a une expression de la forme

(1-16)

$\;\iiiint _{\chi }\!\left(\mathrm {H} _{1}\!+\!\mathrm {H} _{2}\!+\!\mathrm {H} _{3}\!+\!\mathrm {H} _{4}\right){\sqrt {-g}}\,d\omega \quad \left(d\omega =dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{4}\right)$

${\sqrt {-g}}\,d\omega$ est un invariant (n^o 68).

$\mathrm {H} _{1}$ est une fonction invariante se rapportant à la matière, dépendant explicitement des $x_{\mu },$ des $g^{\mu \nu }$ et des dérivées des $g^{\mu \nu }.$

$\mathrm {H} _{2}$ est l’action de substance et $\mathrm {H} _{3}$ l’action de champ de l’électricité. Ces fonctions invariantes dépendent des $g^{\mu \nu }$ et de leurs dérivées, des $\varphi _{\mu }$ (composantes du quadrivecteur potentiel électromagnétique) et de leurs dérivées.

Enfin, de même qu’il y a une action de champ de l’électricité, il existe une action de champ de la matière, représentée par le terme de gravitation $\mathrm {H} _{4}\,;$ cet invariant dépend des $g^{\mu \nu }$ et de leurs dérivées

$g_{\alpha }^{\mu \nu }={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\,;\qquad g_{\alpha \beta }^{\mu \nu }={\frac {\partial ^{2}g^{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}\,;$

il dépend linéairement des $g_{\alpha \beta }^{\mu \nu },$ les coefficients n’étant fonctions que des $g^{\mu \nu }.$

L’intégration est étendue à un domaine d’Univers quelconque $\chi$ et l’on suppose que les fonctions ont des variations nulles aux limites de ce domaine.

1^o Pour l’action matérielle $\iiiint _{\chi }\mathrm {H} _{1}{\sqrt {-g}}\,d\omega ,$ Lorentz a pris

(2-16)	$c\iiiint _{\chi }\rho _{0}{\sqrt {-g}}\,d\omega$	$=c\iint _{\chi }dm\,ds$
		$=c\int _{\chi }dm\,\int _{\chi }{\sqrt {g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }}}.$

En particulier, si le domaine envisagé ne contient qu’une particule de masse au repos $m_{0},$ l’action matérielle se réduit à

$m_{0}c\int ds=m_{0}c^{2}\int d\tau \,;$

BECQUEREL.

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