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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

Le carré de la longueur d’un vecteur peut être considéré comme le produit scalaire du vecteur par lui-même.

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.

Ces notions se généralisent facilement, dans le cas de coordonnées quelconques, grâce à l’introduction des quadrivecteurs covariant et contrevariant associés. Le scalaire

$\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} ^{\mu }=\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} _{\mu }=g^{\mu \nu }\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} _{\nu }=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$

dont (18-13) est la forme dégénérée en coordonnées galiléennes et pour trois dimensions, est la généralisation du produit scalaire de la théorie ordinaire.

Le carré de la longueur généralisée d’un quadrivecteur $\mathrm {A} ^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu }$) est le scalaire.

(19-13)

$l^{2}=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} ^{\mu }=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }=g^{\mu \nu }\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} _{\nu }.$

Enfin la condition d’orthogonalité de deux quadrivecteurs $\mathrm {A} _{\mu }$ et $\mathrm {B} _{\mu },$ ou $\mathrm {A} ^{\mu }$ et $\mathrm {B} ^{\mu }$ est

(20-13)

$\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} ^{\mu }=0$ ou $\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} _{\mu }=0.$

Si un vecteur $\mathrm {A} _{\mu }$ subit un accroissement orthogonal infiniment petit $d\mathrm {A} _{\mu }$ (ou si $\mathrm {A} ^{\mu }$ subit l’accroissement $d\mathrm {A} ^{\mu }$), sa longueur n’éprouve qu’une variation du second ordre ; on a, en effet, en n’écrivant pas les termes d’ordre supérieur au premier

${\begin{aligned}(l+dl)^{2}&=(\mathrm {A} _{\mu }+d\mathrm {A} _{\mu })(\mathrm {A} ^{\mu }+d\mathrm {A} ^{\mu })\\&=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} ^{\mu }+\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }+\mathrm {A} _{\mu }\,d\mathrm {A} ^{\mu }=l^{2}+0+0\end{aligned}}$

puisque, l’accroissement étant orthogonal, on a

$\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }=\mathrm {A} _{\mu }\,d\mathrm {A} ^{\mu }=0.$

68. Expression invariante de l’hypervolume.
Densité tensorielle.

Cherchons d’abord la loi de transformation du déterminant $g=|g_{\mu \nu }|.$ D’après (7-13), on a

$g'=|g'_{\sigma \tau }|=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\tau }}}g_{\mu \nu }\right|$

BECQUEREL.

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