Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/268

248

deuxième partie. — la relativité généralisée.

plus, les composantes du champ électrique et les composantes de l’induction magnétique sont formées à partir du potentiel vecteur (changé de signe) et du potentiel scalaire (3-15) comme les composantes du tenseur $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ sont formées à partir du quadrivecteur $\varphi _{\mu },$ d’après (6-15).

Nous pouvons donc donner l’interprétation suivante du premier groupe (4-15) des équations de Maxwell : les composantes de l’induction électrique et les composantes du champ magnétique constituent un tenseur symétrique gauche $\mathrm {F_{\mu \nu }}$ du second ordre, formé lui-même à partir d’un quadrivecteur potentiel $\varphi _{\mu }$ dont les composantes d’espace (changées de signe) sont les composantes du potentiel vecteur (en unités électromagnétiques) et dont la composante de temps est le potentiel scalaire (en unités électrostatiques) de la théorie ordinaire. Le potentiel est un quadrivecteur covariant.

En coordonnées galiléennes, le tenseur covariant du champ électromagnétique est le suivant, d’après (9-15) :

(10-15)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\mathrm {F_{\mu \nu }} =$	${\begin{array}{rrrr}0&\mathrm {N} &-\mathrm {M} &\mathrm {X} \\-\mathrm {N} &0&\mathrm {L} &\mathrm {Y} \\\mathrm {M} &-\mathrm {L} &0&\mathrm {Z} \\-\mathrm {X} &-\mathrm {Y} &-\mathrm {Z} &\quad 0\end{array}}$

Comme vérification, si l’on passe d’un système galiléen $\mathrm {S}$ à un autre système galiléen $\mathrm {S} '$ et si l’on transforme les composantes du tableau (10-15) suivant la loi de transformation des composantes d’un tenseur covariant, on trouve précisément les forces électriques et magnétiques du système $\mathrm {S} '$ telles qu’on les obtient par les formules de transformation de la relativité restreinte. Le tableau (10-15) est donc bien un tenseur.

Le tenseur contrevariant associé

$\mathrm {F} ^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\mathrm {F} _{\alpha \beta }$

va nous permettre d’exprimer le second groupe d’équations de Maxwell. Ce tenseur est, en coordonnées galiléennes,

(11-15)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\mathrm {F^{\mu \nu }} =$	${\begin{array}{rrrr}0&\mathrm {N} &-\mathrm {M} &-\mathrm {X} \\-\mathrm {N} &0&\mathrm {L} &-\mathrm {Y} \\\mathrm {M} &-\mathrm {L} &0&-\mathrm {Z} \\\mathrm {X} &\mathrm {Y} &\mathrm {Z} &\;0\end{array}}$