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chapitre XV. — le champ électromagnétique.

Soient maintenant, d’une façon générale, $\varphi _{\mu }$ les composantes d’un quadrivecteur covariant (arbitraire pour le moment) ; nous pouvons former sa dérivée covariante

$\varphi _{\mu \nu }={\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{Bmatrix}}\varphi _{\rho }\quad$ (coordonnées quelconques).

$\varphi _{\mu \nu }$ étant un tenseur covariant, les expressions

(6-15)

${\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}=\varphi _{\mu \nu }-\varphi _{\nu \mu }=\mathrm {F} _{\mu \nu }$

sont les composantes d’un nouveau tenseur covariant du second ordre.

Ce tenseur $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ est symétrique gauche, car on a $\mathrm {F} _{\mu \nu }=-\mathrm {F} _{\nu \mu }.$

D’après la formation de $\mathrm {F} _{\mu \nu },$ on a les identités

(7-15)

${\frac {\partial \mathrm {F} _{\nu \mu }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{\nu \sigma }}{\partial x_{\mu }}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{\sigma \mu }}{\partial x_{\nu }}}\equiv 0.$

Donnons à $\mu ,$ $\nu ,$ $\sigma$ les valeurs suivantes :

${\begin{matrix}\mu \qquad &2,&3,&4,&1\\\nu \qquad &3,&4,&1,&2\\\sigma \qquad &4,&1,&2,&3,\end{matrix}}$

nous obtenons les quatre identités

(8-15)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {F} _{23}}{\partial x_{4}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{34}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{42}}{\partial x_{3}}}\equiv 0\\{\frac {\partial \mathrm {F} _{34}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{41}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{13}}{\partial x_{4}}}\equiv 0\\{\frac {\partial \mathrm {F} _{41}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{12}}{\partial x_{4}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{24}}{\partial x_{1}}}\equiv 0\\{\frac {\partial \mathrm {F} _{12}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{23}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{31}}{\partial x_{2}}}\equiv 0\end{aligned}}\right.$

Le tenseur $\mathrm {F} _{\nu \mu },$ étant symétrique gauche, a quatre composantes nulles, et n’a que six composantes distinctes, au signe près. Posons

(9-15)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{14}&=-\mathrm {F} _{41}=\mathrm {X} &\mathrm {F} _{23}&=-\mathrm {F} _{32}=\mathrm {L} ,\\\mathrm {F} _{24}&=-\mathrm {F} _{42}=\mathrm {Y} &\mathrm {F} _{31}&=-\mathrm {F} _{13}=\mathrm {M} ,\\\mathrm {F} _{34}&=-\mathrm {F} _{43}=\mathrm {Z} &\mathrm {F} _{12}&=-\mathrm {F} _{21}=\mathrm {N} ,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {F} _{11}=\mathrm {F} _{22}=\mathrm {F} _{33}=\mathrm {F} _{44}=\mathrm {F} _{34}=0.$

Les premiers membres des identités (8-15) sont précisément les premiers membres des équations (4-15) de Maxwell-Lorentz. De