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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

On a

$\mathrm {T} ^{\alpha \beta }=\rho _{0}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}},$

et, d’après (25-13),

${\sqrt {-g}}\,d\omega =d\omega _{0}=d\mathrm {X} _{1}\,d\mathrm {X} _{2}\,d\mathrm {X} _{3}\,d\mathrm {X} _{4}=d\mathrm {V} .c\,dt=d\mathrm {V} \,ds,$

$d\mathrm {V}$ étant l’élément de volume tridimensionnel pour l’observateur, au repos par rapport à la particule, qui mesurera l’élément de quadrivolume dans l’Univers tangent. Nous écrirons donc

$\iiiint \rho _{0}{\sqrt {-g}}\,d\omega =\iiiint \rho _{0}\,d\mathrm {V} \,ds=m_{0}\,ds,$

$ds$ étant la longueur de l’arc de ligne d’Univers continu à l’intérieur du domaine d’intégration et $m_{0}=\iiint \rho _{0}\,d\mathrm {V}$ la masse au repos de la particule.

Donc, si le domaine d’intégration est très petit, nous pouvons remplacer le second membre de (72-14) par

(73-14)

$-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\mu \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}m_{0}\,ds.$

Au premier membre, les intégrales triples étendues, à l’espace tridimensionnel qui limite le quadrivolume, s’annulent partout sauf aux deux points où la ligne d’Univers coupe cet espace tridimensionnel.

Pour simplifier, choisissons les coordonnées de manière qu’au voisinage de ces points d’intersection le quadrivolume soit limité par $x_{1}={\text{const.}},$ de sorte que la première des intégrales triples subsiste seule. Le premier membre de (72-14) devient l’expression

(74-14)

$\left[{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{1}}{ds}}\iiint \rho _{0}{\sqrt {-g}}\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{4}\right]$

dont on doit prendre la différence des valeurs pour les deux valeurs limites.

Dans chaque élément d’intégration, nous pouvons remplacer

${\sqrt {-g}}{\frac {dx_{1}}{ds}}\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{4}\qquad$ par $\qquad {\frac {d\mathrm {V} \,ds}{ds}}\quad$ ou $\quad d\mathrm {V} ,$