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deuxième partie. — la relativité généralisée.
ce qu’on peut écrire
(21-13)
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ou
(22-13)
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Nous prenons
parce que
est toujours négatif, ainsi
qu’on le voit aisément car d’après (21-13)
ne change jamais de
signe, et
pour les valeurs galiléennes (10-12).
D’autre part, la loi de transformation de l’élément de quadrivolume
![{\displaystyle d\omega =dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c742a06dadfb296e0eac30ab75325114f447c012)
est, d’après un théorème connu de Jacobi,
(23-13)
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Multipliant (22-13) et (23-13), il vient
(24-13)
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Dans l’Univers euclidien tangent, et en coordonnées galiléennes
coordonnées rectangulaires d’espace,
l’élément d’hypervolume est
![{\displaystyle d\omega _{0}=d\mathrm {X} _{1}\,d\mathrm {X} _{2}\,d\mathrm {X} _{3}\,d\mathrm {X} _{4}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5193b621c666e2f9eca584e352305257a1c5ef)
avec
![{\displaystyle \quad {\sqrt {-g}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478b1e0794373cb85127dfd29c9827a9d2fe9273)
On a donc
(25-13)
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invariant.
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Densité tensorielle. — Soit maintenant
un tenseur faisant
partie d’un champ tensoriel, l’intégrale
![{\displaystyle \iiiint \mathrm {T} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }{\sqrt {-g}}\,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0f283d96ada060d989bcd098625d77ebcb4b23)
prise entre des limites définies d’une façon absolue, est elle-même
un tenseur, puisque
est un invariant.
Il est logique de considérer comme unité de quadrivolume la
cellule quadridimensionnelle dont les arêtes ont des longueurs