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deuxième partie. — la relativité généralisée.

nouvelle transformation de coordonnées $(x'_{1},x'_{2},x'_{3},x'_{4})$ et l’on peut trouver facilement les valeurs des $g'_{\mu \nu }$ en fonction des $g_{\mu \nu }.$

Les $g_{\mu \nu }$ peuvent être groupés dans le tableau

(9-12)

$\left\{{\begin{array}{cccc}g_{11}&g_{12}&g_{13}&g_{14}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}&g_{24}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}&g_{34}\\g_{41}&g_{42}&g_{43}&g_{44}\end{array}}\right.$

Les seize $g_{\mu \nu }$ se réduisent à dix, puisque $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }.$ Dans le cas de coordonnées galiléennes, on a

(10-12)

$\left\{{\begin{array}{rrrr}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&+1\end{array}}\right.$

Nous écrirons l’expression (8-12) sous la forme

(11-12)

$ds^{2}=\textstyle \sum g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.$

Comme exemple, faisons la transformation permettant de passer des coordonnées galiléennes $\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\mathrm {X} _{3},$ $\mathrm {X} _{4}$ à des coordonnées rapportées à des axes qui, dans le système galiléen, tournent autour de $\mathrm {OX} _{3},$ avec la vitesse angulaire $\omega c.$ Les formules de transformation sont les suivantes :

(12-12)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}&=x_{1}\cos \omega x_{4}-x_{2}\sin \omega x_{4},\\\mathrm {X} _{2}&=x_{1}\sin \omega x_{4}+x_{2}\cos \omega x_{4},\\\mathrm {X} _{3}&=x_{3},\\\mathrm {X} _{4}&=x_{4}.\end{aligned}}\right.$

On en déduit :

(13-12)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}d\mathrm {X} _{1}&=\cos \omega x_{4}\,dx_{1}&{}-{}&\sin \omega x_{4}\,dx_{2}\\&&{}-{}&\omega (x_{1}\sin \omega x_{4}+x_{2}\cos \omega x_{4})dx_{4},\\d\mathrm {X} _{2}&=\sin \omega x_{4}\,dx_{1}&{}+{}&\cos \omega x_{4}\,dx_{2}\\&&{}+{}&\omega (x_{1}\cos \omega x_{4}-x_{2}\sin \omega x_{4})dx_{4},\\d\mathrm {X} _{3}&=dx_{3},\\d\mathrm {X} _{4}&=dx_{4}.\end{alignedat}}\right.$

Substituant dans (6-12), on a l’expression de l’invariant $ds^{2}$ en fonction des $dx_{\mu }:$

${\begin{aligned}ds^{2}=&-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}+\left[1-\omega ^{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\right]\,dx_{4}^{2}\\&+2\omega x_{2}\,dx_{1}\,dx_{4}-2\omega x_{1}\,dx_{2}\,dx_{4}.\end{aligned}}$