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deuxième partie. — la relativité généralisée.
Nous obtenons donc
(56′-14)
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en posant[1]
![{\displaystyle -2\varkappa {\frac {\partial {\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial d_{\beta }}}\left({\mathfrak {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }{\mathfrak {R}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296d86f750597c03600f1551edc86bdc4539c69f)
Les quatre équations résumées dans (56′-14)
(57-14)
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(où
et
doivent être remplacés par
et
lorsque
)
expriment la loi générale de conservation de l’impulsion-énergie
quand il y a action réciproque de la matière et du champ
de gravitation. La démonstration a été faite au no 80 ; il n’y a qu’à
remplacer dans cette démonstration
par ![{\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }+{\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a242a48405154eec4ba2122a61b9c1b12e73add)
Si nous supposons un système clos où le champ de gravitation
soit négligeable, nous pouvons prendre des coordonnées galiléennes
et les quatre équations qui précèdent (où les
sont nuls),
qui ne sont autres que les équations bien connues de l’hydrodynamique
(voir numéro suivant), expriment la conservation de
l’impulsion d’Univers au sens de la relativité restreinte (no 47).
Si le champ de gravitation n’est pas négligeable, la loi
exprime la conservation de l’ensemble du tenseur matériel et de
l’énergie de gravitation, c’est-à-dire que toute variation du tenseur
impulsion-énergie de la matière peut être considérée comme
- ↑ L’expression de
est
![{\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }=-{\frac {1}{2\varkappa }}\left(g_{\beta }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}-g_{\beta }^{\alpha }{\mathfrak {L}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96d12bebfeaaf7f1de23d14f98545914fd5662c)
avec
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}={\sqrt {-g}}\,g^{mn}\left({\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}mn\\\beta \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\alpha \end{Bmatrix}}\right)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57bb070990dd5c67a1521034d1175280ee6a09d)
(
voir note du no 79).