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deuxième partie. — la relativité généralisée.

sentent (à un facteur constant près) des courants d’énergie et des courants de quantité de mouvement dans les trois directions des axes de coordonnées.

Le scalaire $\mathrm {T} =\mathrm {T} _{\mu }^{\mu }$ (invariant contracté) n’est autre chose que la densité au repos $\rho _{0}\,;$ on a, en effet,

(46-11)	$\mathrm {T} _{\mu }^{\mu }$	$={\frac {1}{c^{2}}}g_{\mu \sigma }\rho {\frac {d\mathrm {X} _{\sigma }}{dt}}{\frac {d\mathrm {X} _{\mu }}{dt}}$
		$={\frac {\rho }{c^{2}}}\left[g_{11}\left({\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dt}}\right)^{2}\!+g_{22}\left({\frac {d\mathrm {X} _{2}}{dt}}\right)^{2}\!+g_{33}\left({\frac {d\mathrm {X} _{3}}{dt}}\right)^{2}\right]+g_{44}\rho$
		$=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=\alpha ^{2}\rho =\rho _{0},$

résultat valable, bien entendu, dans n’importe quel système de coordonnées puisque $\mathrm {T}$ est un scalaire.

Lorsque la vitesse $v$ est petite par rapport à la vitesse de la lumière, les composantes autres que $\mathrm {T} _{4}^{4}$ sont négligeables par rapport à $\mathrm {T} _{4}^{4},$ de sorte que le tenseur se réduit, en première approximation, à la densité $\mathrm {T} _{4}^{4}=\rho ,$ très voisine de $\rho _{0}.$

82. Les équations de la gravitation dans la matière.

Nous avons dit que le tenseur matériel doit remplacer la densité dans l’expression de la loi de la gravitation. Il suffit de se reporter à la loi dans le vide, sous la forme (37-14) où l’énergie de gravitation est mise en évidence, pour comprendre comment il faut maintenant introduire le tenseur matériel. Nous devons penser que l’énergie de gravitation est équivalente à toute autre forme d’énergie : donnant alors à la constante $\varkappa$ [équation (37-14)] des dimensions telles que $t_{\mu }^{\sigma }$ représente une densité (énergie par

dans le système de cette portion de matière, on a

m_{0}=\rho _{0}\,d\mathrm {V} _{0},\qquad m=\rho \,d\mathrm {V} \,;

or

d\mathrm {V} =\alpha \,d\mathrm {V} _{0}\qquad

(contraction du volume)

et

m={\frac {m_{0}}{\alpha }}\qquad

(accroissement de masse).

Donc

\rho \,d\mathrm {V} ={\frac {m_{0}}{\alpha }}={\frac {\rho _{0}\,d\mathrm {V} _{0}}{\alpha }}={\frac {\rho _{0}\,d\mathrm {V} }{\alpha ^{2}}},\qquad \rho _{0}=\alpha ^{2}\rho .