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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

En changeant la désignation des indices, (35-14) s’écrit

(36-14)

$\;{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left(g^{\sigma \beta }{\begin{Bmatrix}\mu \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\right)+g^{mn}{\begin{Bmatrix}m\beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\mu \\\beta \\\end{Bmatrix}}+g^{\nu \sigma }{\begin{Bmatrix}\mu \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\cdot$

Cette expression est le premier membre de l’équation (34-14), son troisième terme annule le second membre de l’équation ; son deuxième terme est égal à

$-\varkappa \left(t_{\mu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }t\right)\qquad$ en posant $\;t=t_{\alpha }^{\alpha }\left(=t_{1}^{1}+t_{2}^{2}+t_{3}^{3}+t_{4}^{4}\right),$

ainsi qu’il est facile de le vérifier d’après (32), (18), (24).

On obtient donc finalement la loi de la gravitation dans le vide sous la forme

(37-14)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left(g^{\sigma \beta }{\begin{Bmatrix}\mu \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\right)&=\varkappa \left(t_{\mu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }t\right)\\[0.75ex]{\sqrt {-g}}&=1,\end{aligned}}\right.$

qui a l’avantage d’expliciter les composantes de l’énergie de gravitation.

II. LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATIÈRE.

Il reste à résoudre un problème fondamental.

Les six équations $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ expriment seulement la loi de la gravitation dans une région vide de matière ou d’énergie électromagnétique. Ces équations remplacent l’équation bien connue de l’ancienne théorie (équation de Laplace) :

(38-14)

$\Delta \Omega =0,\qquad \left(\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right),$

$\Omega$ étant le potentiel du champ newtonien.

Il s’agit maintenant de déterminer la loi qui doit remplacer la loi d’attraction proportionnelle à la masse et inversement proportionnelle au carré de la distance, loi traduite analytiquement par l’équation de Poisson

(39-14)

$\Delta \Omega =4\pi \mathrm {G} \rho ,$

BECQUEREL.

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