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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.
tiplions (17-14) par
nous obtenons
(28-14)
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or, on peut écrire
(29-14)
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et
(30-14)
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On obtient donc, en ajoutant (28-14) et (29-14),
(31-14)
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en posant
(32-14)
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,
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étant une constante universelle (que nous déterminerons plus
tard en fonction de la constante de la gravitation newtonienne).
La quantité
n’est pas un tenseur, mais elle est l’extension de l’expression hamiltonienne de l’énergie
Dans l’espace vide,
l’équation (31) devient
(33-14)
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Temps, Gravitation, partie théorique, no 44), mettre
sous la forme des équations de Lagrange en conservant des coordonnées complètement arbitraires c’est-à-dire sans imposer la restriction
Il faut dans l’équation (26-14) remplacer
par
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}={\sqrt {-g}}g^{mn}\left({\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}mn\\\beta \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11188f2479930360d8a77065dd2786f295a0c895)
et remplacer aussi
par
ainsi que
par
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }^{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20470d02f939ac2e857e5b47cc3bc4b25b064e57)
on a alors
![{\displaystyle \mathrm {R} _{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial {\mathfrak {g}}_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial {\mathfrak {g}}^{\mu \nu }}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c98871b9a604d2e1a59788e545c91d34e26508)