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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.
boles de Christoffel s’annulent au point considéré, mais leurs
dérivées ne s’annulent pas. Le premier terme seul subsiste dans
etc. et l’expression (12-14) devient
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
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car à cause de (b)
se comporte comme une constante à l’égard
de la double différentiation.
Huit des neuf termes du crochet se détruisent deux à deux soit
directement, soit par changement d’indices muets ; il ne reste que
le terme
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle -{\frac {1}{4}}g^{\beta \alpha }{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}\left(g^{\sigma \rho }{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\right)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4f489e0f1de59563799b55d36b72828ae8baec) |
d’après (b)
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle -g^{\beta \alpha }{\frac {1}{4}}{\frac {\partial ^{3}(\operatorname {Log} g)}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }\,\partial x_{\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bc158400a15393934e76617b4e84d4151a24e0) |
d’après (51-13)
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
puisque en tout point,
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ce qui démontre le théorème.
Les quatre identités (10-14)
(13-14)
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sont précisément les identités qui étaient à prévoir à cause de l’indétermination
des quatre coordonnées (no 75) et qui réduisent à
six le nombre des équations indépendantes exprimant la loi de la
gravitation.
Le même théorème s’applique au tenseur
![{\displaystyle \mathrm {R} _{\mu }^{\nu }={\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} '\qquad \left(\mathrm {R} _{\mu }^{'\nu }=\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-\lambda g_{\mu }^{\nu }\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1fe5894653af52ded3c1e669eb1e46868d12eb)
la divergence de ce tenseur est identiquement nulle.