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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

D’après (37-13), nous avons

	$\mathrm {A} _{\mu }^{\mu }$	$={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}+{\begin{Bmatrix}\rho \mu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\rho }$
		$={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}+\mathrm {A} ^{\rho }{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\rho }}}$	[d’après (53-13)]
		$={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}+\mathrm {A} ^{\mu }{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }}}$
(54-13)		$={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\!\left(\mathrm {A} ^{\mu }{\sqrt {-g}}\right).$

Désignant les densités tensorielles par des lettres de ronde nous pouvons écrire

(55-13)

${\mathcal {A}}_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {A}}^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}\cdot$

2^o Tenseur mixte du second ordre. — Nous appelons, de même, divergence la dérivée covariante contractée.

D’après (41-13) nous avons

$\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\nu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\mu }^{\varepsilon }-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\nu }.$

Les deux premiers termes se réduisent, comme plus haut, à

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right),$

de sorte que la divergence s’écrit

$\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\nu }.$

L’expression se simplifie lorsque $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ est un tenseur symétrique, car le dernier terme

$-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\right)g^{\varepsilon \alpha }\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\nu }$

se réduit à

$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {A} ^{\alpha \nu },$

et l’on obtient pour l’expression de la divergence

(56-13)

$\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{\sigma \rho }{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}$