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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

D’après la multiplication des déterminants, on a

$|g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }|=|g_{\mu \alpha }|\;|g^{\alpha \nu }|.$

Comme on a aussi

$|g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }|=|g_{\mu }^{\nu }|=1,$

on voit que

(17-13)

$|g_{\mu \nu }|\;|g^{\mu \nu }|=1.$

66. Tenseurs associés^[1].

Les trois tenseurs fondamentaux qui viennent d’être définis permettent de transformer les tenseurs, c’est-à-dire de construire de nouveaux tenseurs de types différents en faisant passer à volonté un indice de bas en haut ou inversement.

Par exemple, partons d’un quadrivecteur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu }$ ou d’un tenseur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu \nu },$ nous pouvons écrire

$\mathrm {A} ^{\mu }=g^{\mu \alpha }\mathrm {A} _{\alpha },\quad \mathrm {A} ^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }\mathrm {A} _{\alpha }^{\nu },\quad \mathrm {A} _{\alpha }^{\nu }=g^{\nu \beta }\mathrm {A} _{\alpha \beta },\quad \mathrm {A} ^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\mathrm {A} _{\alpha \beta }.$

Nous avons ainsi défini un nouveau vecteur $\mathrm {A} _{\alpha },$ covariant, ainsi que deux tenseurs, l’un mixte $\mathrm {A} _{\alpha }^{\nu },$ l’autre covariant $\mathrm {A} _{\alpha \beta }.$

Nous avons de même

$\mathrm {A} _{\mu }=g_{\mu \alpha }\mathrm {A} ^{\alpha },\qquad \mathrm {A} _{\mu }^{\nu }=g_{\mu \alpha }\mathrm {A} ^{\nu \alpha }.$

Les vecteurs $\mathrm {A} _{\mu }$ et $\mathrm {A} ^{\mu }$ sont dits associés l’un à l’autre ; de même les tenseurs $\mathrm {A} _{\mu \nu },$ $\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }$ $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ sont associés entre eux.

On doit remarquer qu’il n’y a aucune contradiction dans les définitions qui précèdent, car si l’on élève un indice, puis qu’on l’abaisse, on retrouve le tenseur primitif. En effet, on a par exemple

$\mathrm {A} _{\mu \beta }=g_{\nu \beta }\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }=g_{\nu \beta }g^{\nu \alpha }\mathrm {A} _{\mu \alpha }=g_{\beta }^{\alpha }\mathrm {A} _{\mu \alpha }=\mathrm {A} _{\mu \beta }.$

Un cas particulièrement remarquable est celui où les $g_{\mu \nu }$ ont les valeurs galiléennes (10-12). Dans le cas de l’espace à trois dimensions où l’élément de ligne est $dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$ les

1. Eddington, Espace, Temps, Gravitation ; traduction française par J. Rossignol, partie théorique, n^o 18.