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deuxième partie. — la relativité généralisée.

de l’expression (11-13) de $ds^{2},$ nous pouvons écrire

$ds^{2}=g_{\mu \sigma }g_{\nu }^{\sigma }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }=g_{\mu \sigma }g_{\nu \tau }g^{\sigma \tau }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.$

D’après les règles de multiplication des tenseurs, les grandeurs

$d\xi _{\sigma }=g_{\mu \sigma }\,dx_{\mu }$

forment un quadrivecteur covariant, puisque $g_{\mu \sigma }$ est un tenseur covariant et $dx_{\mu }$ un quadrivecteur contrevariant, et comme les $dx_{\mu }$ peuvent être choisis arbitrairement, ce quadrivecteur $d\xi _{\sigma }$ est arbitraire.

Nous avons donc

$ds^{2}=g^{\sigma \tau }\,d\xi _{\sigma }\,d\xi _{\tau }.$

Puisque $ds^{2}$ est un invariant, que $d\xi _{\sigma }$ est arbitraire, et que $g^{\sigma \tau }$ est symétrique, il résulte d’une des règles données au n^o 64 que $g^{\sigma \tau }$ est un tenseur contrevariant.

Le tenseur mixte fondamental. — $g_{\mu \sigma }$ et $g^{\nu \sigma }$ étant deux tenseurs, le premier covariant, le second contrevariant, (14-13) exprime que $g_{\mu }^{\nu }$ est un tenseur mixte. C’est un tenseur remarquable car ses composantes conservent les mêmes valeurs dans tous les systèmes de coordonnées.

Nous remarquerons que

(15-13)

$g_{\mu }^{\mu }=g_{1}^{1}+g_{2}^{2}+g_{3}^{3}+g_{4}^{4}=4.$

Si $\mathrm {A} ^{\nu }$ est un groupe quelconque de quatre quantités, nous avons, puisque $g_{\nu }^{\sigma }=$ 1 ou 0 suivant que $\nu =\sigma$ ou que $\nu \neq \sigma ,$

(16-13)

$g_{\nu }^{\sigma }\mathrm {A} ^{\nu }=\mathrm {A} ^{\sigma }+0+0+0\,;$

en d’autres termes, $g_{\nu }^{\sigma }$ est un opérateur de substitution. Ce résultat montre d’ailleurs directement que $g_{\nu }^{\sigma }$ est un tenseur, car si $\mathrm {A} ^{\nu }$ est un quadrivecteur, le produit intérieur $g_{\nu }^{\sigma }\mathrm {A} ^{\nu }$ donne toujours un quadrivecteur ; ce qui prouve, d’après la loi du quotient, que $g_{\nu }^{\sigma }$ a le caractère tensoriel.

Indiquons enfin une relation importante. Désignons par $|g_{\mu \nu }|,$ $|g^{\mu \nu }|,$ $|g_{\mu }^{\nu }|$ les déterminants ayant pour éléments respectifs les $g_{\mu \nu },$ $g^{\mu \nu },$ $g_{\mu }^{\nu }.$