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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.
De même soit
![{\displaystyle \mathrm {D} _{\mu \nu }^{\sigma \tau }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\sigma \tau }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d59dbab7dfefe8b30d8c9b5553dc4c44e76465)
si, par contraction, nous formons
![{\displaystyle \mathrm {D} _{\mu }^{\tau }=\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\nu \tau }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\nu \tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13bad4d689521b4dc885ad68ba9dcfe1def3316)
nous faisons une opération mixte, car c’est une multiplication
extérieure vis-à-vis de
et
intérieure vis-à-vis de
et
.
64. Procédés permettant de reconnaître le caractère tensoriel.
Procédé par invariance d’un produit intérieur. — D’après
ce qui précède, le produit intérieur
est un scalaire
lorsque
et
sont deux tenseurs tels que les ordres de
covariance et de contrevariance du second soient respectivement
égaux aux ordres de contrevariance et de covariance du premier.
Inversement, lorsqu’un groupe de quantités
déterminées par
indices, comme un tenseur, mais dont on ignore
a priori la nature, est tel que
(9-13)
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invariant
|
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pour un choix arbitraire d’un tenseur
à
indices dont
indices covariants et
indices contrevariants, on peut affirmer
que
est un tenseur contrevariant d’ordre
et
covariant d’ordre ![{\displaystyle n''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab0df6691e18f912e72d320ed0a6583af93d921)
En effet, d’après (9-13), on a pour une transformation arbitraire
(10-13)
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|
Or, par inversion des formules (6-13) et (7-13) généralisées, on a
![{\displaystyle \mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots \mathrm {B} _{ab\ldots }^{\prime mn\ldots }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec74e1fbcab70cc08b49ae29a00356eb53cc5bb)
transportant dans (10-13), il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigg [}\mathrm {A} '&(mn\ldots ab\ldots )-\\&\left({\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots \right)\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \alpha \beta \ldots ){\bigg ]}\mathrm {B} _{ab\ldots }^{\prime mn\ldots }=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610fc700989eae378f67c6db84a1a663099d52a6)