157
chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.
prouve que
obéit à la loi de définition des tenseurs
covariants par rapport à
contrevariants par rapport à
En particulier, si
est un quadrivecteur covariant [ou
un quadrivecteur contrevariant] pour un choix arbitraire
du quadrivecteur
(ou
), on peut en conclure que
est
un tenseur du second ordre covariant (ou contrevariant).
65. Les tenseurs fondamentaux.
Le tenseur covariant fondamental
— Dans l’expression
de l’invariant
(8-12)
(11-13)
|
|
|
joue le rôle d’un quadrivecteur contrevariant arbitraire.
Comme
est symétrique
il résulte d’une des règles
indiquées au no 64 que
est un tenseur covariant symétrique du
second ordre.
Le tenseur contrevariant fondamental
— Écrivons le
déterminant des
(12-13)
|
|
|
puis formons le mineur de chaque
et divisons chaque mineur
par la valeur
du déterminant. Nous obtenons 16 grandeurs
(10 seulement sont distinctes, car
) qui constituent un
tenseur contrevariant, ainsi que nous allons le montrer.
D’après une propriété connue des déterminants, on a
(13-13)
|
ou
|
|
selon que
ou que
.
Posons
(14-13)
|
|
|
étant égal à 1 ou à 0 suivant que
ou que
au lieu