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chapitre XII. — la théorie des surfaces de gauss.

valence (n^o 55) ; ce sont ces grandeurs, les dix potentiels de gravitation, qui doivent figurer dans l’expression des lois des phénomènes, pour que ces lois conservent la même forme, quel que soit le système de référence (n^o 54).

Dans un Univers euclidien, l’équation générale des géodésiques est, comme nous l’avons vu dans l’étude de l’Univers de Minkowski,

(4-12)

$\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+c^{2}dt^{2}}}=0,$

$x,$ $y,$ $z$ étant les coordonnées d’espace rapportées à trois axes rectangulaires et $t$ le temps. Nous désignerons dorénavant par coordonnées galiléennes les coordonnées d’espace et de temps définies par

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+c^{2}dt^{2}$

ou

$ds^{2}=-d\mathrm {X} _{1}^{2}-d\mathrm {X} _{2}^{2}-d\mathrm {X} _{3}^{2}+d\mathrm {X} _{4}^{2}.$

Cette définition n’est possible que dans un Univers euclidien, et le mot galiléen a un sens plus spécial que le mot euclidien, puisque le système de coordonnées dit galiléen correspond à un choix particulier (trois axes rectangulaires d’espace en mouvement non accéléré) dans un Univers euclidien.

La géodésique (4-12) est l’extension quadridimensionnelle de la droite de la géométrie, et son équation est l’expression de la loi galiléenne d’inertie.

Dans l’Univers réel, et quelles que soient les coordonnées, une géodésique sera encore représentée par l’équation

(5-12)

$\delta \int s=0$

qui exprime la loi d’action stationnaire.

Un champ de gravitation, au sens généralisé, comporte un élément arbitraire, puisqu’on peut modifier à volonté le champ de force « géométrique » par le choix des coordonnées^[1]. Cependant tout n’est pas arbitraire : il y a un élément bien déterminé, la structure géométrique (quadridimensionnelle) de l’Espace--

1. L’élément arbitraire lié à l’indétermination des coordonnées est comparable à l’orientation arbitraire des figures géométriques.