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APPENDICE

$dl$ est donc proportionnel à $l$ et indépendant de la direction du vecteur.

Les différentes surfaces limitées à un même contour devant conduire à une même valeur de $\mathrm {\delta A_{\mu }}$, l’intégrale de surface doit porter sur un rotationnel, d’où la seconde condition de Weyl.

Soit maintenant une règle extrêmement courte, de longueur généralisée $l$ (note 11). Déplaçons-la de $dx_{1}$, $dx_{2}$, $dx_{3}$, $dx_{4}$. $\mathrm {F_{\nu \sigma }}$ étant le rotationnel d’un vecteur, nous pouvons écrire

(16-9)

${\frac {dl}{l}}=\varphi _{1}\,dx_{1}+\varphi _{2}\,dx_{2}+\varphi _{3}\,dx_{3}+\varphi _{4}\,dx_{4},$

les $\varphi _{\mu }$ étant quatre fonctions de point, qui sont les composantes d’un quadrivecteur d’Univers.

Comme les $g_{\mu \nu },$ les $\varphi _{\mu }$ dépendent d’une propriété intrinsèque de l’espace-temps et du système employé. De même que les $g_{\mu \nu }$ ne peuvent pas prendre des valeurs complètement indépendantes (loi de la gravitation), de même les $\varphi _{\mu }$ doivent satisfaire une loi.

Intégrons (16-9), nous avons

(16-10)

$\;\log l+$ Cte $=\int \varphi _{1}\,dx_{1}+\varphi _{2}\,dx_{2}+\varphi _{3}\,dx_{3}+\varphi _{4}\,dx_{4}$

la longueur sera indépendante du chemin suivi (intégrable) si le rotationnel des $\varphi _{\mu }$ est nul (condition d’intégrabilité)

(16-11)

${\frac {\partial \varphi _{\mu }}{dx_{\nu }}}-{\frac {\partial \varphi _{\nu }}{dx_{\mu }}}=0.$

Faisons l’hypothèse que les $\varphi _{\mu }$ représentent le potentiel électromagnétique (à un facteur constant près) ; l’annulation