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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

II. — RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE.

Note 11.

Les tenseurs.

1^o TRANSFORMATION DU DÉPLACEMENT ÉLÉMENTAIRE. — Passons d’un système de coordonnées ($x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$) à un autre ($x_{1}^{\prime }$, $x_{2}^{\prime }$, $x_{3}^{\prime }$, $x_{4}^{\prime }$) l’élément de ligne se transforme d’après les quatre équations

$dx_{1}^{\prime }={\frac {\partial {x_{1}^{\prime }}}{\partial {x_{1}}}}dx_{1}+{\frac {\partial {x_{1}^{\prime }}}{\partial {x_{2}}}}dx_{2}+{\frac {\partial {x_{1}^{\prime }}}{\partial {x_{3}}}}dx_{3}+{\frac {\partial {x_{1}^{\prime }}}{\partial {x_{4}}}}dx_{4}.$

.....................

qu’on résume sous la forme abrégée

(11-1)

$dx_{\sigma }^{\prime }=\sum _{\nu }{{\frac {\partial {x_{\sigma }^{\prime }}}{\partial {x_{\nu }}}}dx_{\nu }}.$

$\sigma$ étant le même indice dans les deux membres et la sommation étant faite, pour chaque indice $\sigma$, en remplaçant $\nu$ successivement par 1, 2, 3, 4.

2^o QUADRIVECTEURS. — Tout groupe de quatre quantités $\mathrm {A} ^{\nu }$ qui se transforment suivant la même loi que les $dx_{\nu }$.

(11-2)

$\mathrm {A} ^{\prime _{\sigma }}=\sum _{\nu }{{\frac {\partial {x_{\sigma }^{\prime }}}{\partial {x_{\nu }}}}\mathrm {A} ^{\nu }}$

constitue un quadrivecteur ou tenseur de premier ordre contrevariant. On met l’indice en haut (sauf pour $dx^{\nu }$ qui est cependant contrevariant).