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APPENDICE

et par suite la loi (12-12) seule compatible avec $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ dans le vide ; on retomberait sur la loi qu’il faut précisément modifier.

D’après (15-2) la loi dans le vide s’écrit

$\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} =0$

ou en appelant $\mathrm {R} _{0}$ la courbure dans le vide et posant $\mathrm {R} _{0}=4\lambda$

(15-4)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }^{\prime }=\mathrm {R} _{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }=0$

avec $\mathrm {\lambda \neq 0}$ mais très petit,

loi déjà indiquée note 12.

La loi macroscopique de la matière considérée comme continue s’obtient immédiatement en remplaçant dans toute la théorie précédemment donnée $\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }$ par $\mathrm {R} _{\mu }^{\prime \nu }$, et $\mathrm {R}$ par $\mathrm {R} ^{\prime }=\mathrm {R} -4\lambda =\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0}.$

La divergence de $\mathrm {R} _{\mu }^{\prime \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} ^{\prime }$ est identiquement nulle, et ce tenseur doit être identifié avec $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$, pour satisfaire la loi de conservation. La loi de gravitation dans la matière devient

(15-5)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }^{\prime }=\mathrm {R} _{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }=-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right)$

et la densité (au repos) est ${\frac {1}{\varkappa }}\left(\mathrm {R} -\mathrm {R} _{0}\right)$ ${\bigg (}$au lieu de ${\frac {1}{\varkappa }}\mathrm {R} {\bigg )}.$

2^o L’ESPACE FERMÉ. — Cherchons maintenant quel peut être l’aspect ultra-macroscopique ou cosmique de l’Univers, en accord avec la loi (15-5). Prenant comme unité de volume un espace suffisamment grand (par ex. :