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APPENDICE

Le carré de la longueur d’un vecteur est le produit scalaire du vecteur par lui-même. Deux vecteurs sont orthogonaux si $\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} _{\mu }=0.$

Pour les quadrivecteurs, en coordonnées arbitraires, le scalaire

(11-14)

$\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} ^{\mu }=\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} _{\mu }=g^{\mu \nu }\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} _{\nu }=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$

est la généralisation du produit scalaire (11-13).

Le carré de la longueur généralisée d’un quadrivecteur $\mathrm {A} ^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu }$) est le scalaire

(11-15)

$l^{2}=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} ^{\mu }=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }=g^{\mu \nu }\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} _{\nu }$

et la condition d’orthogonalité de deux quadrivecteurs ($\mathrm {A} _{\mu },\mathrm {B} _{\mu }$ ou $\mathrm {A} ^{\mu },\mathrm {B} ^{\mu }$) est

(11-16)

$\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} ^{\mu }=0\qquad$ ou $\qquad \mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} _{\mu }=0.$

10^o DENSITÉ TENSORIELLE. — Le déterminant $g$ des $g_{\mu \nu }$ est toujours $<0\;;$ considérons ${\sqrt {-g}}\;;$ on démontre que :

(11-17)

${\sqrt {-g}}\,d\omega =$ invariant $\;(d\omega =dx_{1}dx_{2}dx_{3}dx_{4}).$

En coordonnées galiléennes, $g_{11}=$ $g_{22}=$ $g_{33}=-1$, $g_{44}=+1$, $g_{\mu \nu }=0$ $(\mu \neq \nu )$ ; ${\sqrt {-g}}=1$ et l’invariant ${\sqrt {-g}}\,d\omega =dx.dy.dz.c\,dt$ (élément d’hypervolume, voir note 7).

Soit $\mathrm {T} _{\mu \nu \dots }^{\alpha \beta \dots }$ un tenseur, on appelle densité tensorielle l’expression

(11-18)

${\mathfrak {T}}_{\mu \nu }^{\alpha \beta }={\sqrt {-g}}\;\mathrm {T} _{\mu \nu \dots }^{\alpha \beta \dots }.$

On peut toujours choisir les coordonnées de façon qu’en tout point-événement ${\sqrt {-g}}=1$. Ce choix simplifie souvent les calculs.